산술·기하·조화평균 어떻게 구하나

※ 다음 글을 읽고 논제에 답하시오.

평균은 사회 현상 또는 과학적 사실로부터 얻은 데이터를 이용하여 그 현상 또는 사실의 대표적인 성향을 나타낼 때 자주 사용되는 개념이다. 가장 널리 사용되는 평균으로는 산술평균, 기하평균, 조화평균 등이 있다. 그렇다면 각각의 평균들은 어떤 경우에 사용될까?

우리에게 가장 익숙한 평균 개념인 산술 평균은 흔히 시험점수의 평균점수를 구하는 데 이용되곤 한다. 여기에 변량 가 있다고 가정하자. 이 변량들의 산술평균은 와 같이 구한다.

기하평균을 알아보기 위해 다음과 같은 예를 들어 보자. A라는 도시의 3년 전 인구를 라 하고 3년 동안 각각 배, 배, 배 성장했다고 하면 현재의 인구는 일 것이다. 3년 동안 매해 평균 배씩 성장했다고 하면 와 같고 일 것이다.

조화평균은 평균 속력을 구하는 예로 생각해 볼 수 있다. 도시 A와 도시 B 사이의 거리를 라 하자. A에서 B까지 왕복 이동을 할 경우, 갈 때는 시속 로 가고 올 때는 시속 로 돌아왔다면 이때 평균 속력은 총 이동 거리를 총 소요시간으로 나눈 것이므로 라고 쓸 수 있다.

만약 위의 변량에 대한 조화평균을 구하고자 한다면 와 같은 식을 이용하면 된다.

논제

어떤 도시의 두 지점 A와 F를 잇는 도로를 동일한 간격의 다섯 개 구간으로 균등 분할하고 각 구간의 자동차 최고속도를 아래 그림과 같이 각각 시속 60㎞/h, 40㎞/h, 30㎞/h, 80㎞/h, 90㎞/h로 제한하였다고 할 때 두 지점 A와 F를 잇는 이 도로의 평균 제한최고속도는 얼마인가?

60㎞/h

40㎞/h

30㎞/h

80㎞/h

90㎞/h

A

B

C

D

F

E

예시답안

이 문제는 2006년 중앙대 수시 2의 기출문제로 산술 기하 조화평균 중 어느 평균을 사용해야 하는지 묻는 문제이다.

위 도시들 사이의 거리는 모두 동일하다고 하였으므로 그 거리를 라 하자. 그러면 총 진행한 거리는 가 되고 각 구간을 통과하는데 걸리는 최소시간들은 각각 가 되고 평균 제한최고속도를 구하면 로 조화평균이 적용됨을 알 수 있다.