■진법 이야기
수의 개념과 셈법은 역사가 기록되기 훨씬 이전부터 발전되어 왔다. 원시 시대에 구성원이 증가하고 자신들의 양떼들이 줄지 않았는지 등등의 이유로 사회가 점차 발전되어감에 따라 간단한 셈이 절대적으로 필요하게 되었다. 아마 초기의 셈은 일대일 대응 원리를 이용했을 것이라고 추측할 수 있다. 예를 들어 손가락을 사용한다든지 조약돌이나 막대기를 사용하는 셈을 할 수도 있었을 것이다.
더욱 광범위한 셈을 할 필요가 있게 됨에 따라 셈법은 점차 체계화되어 갔다.
퀸스랜드의 원주민들의 셈을 살펴보면, 지금도 ‘one, two, two and one, two twos’등으로 세고 아프리카의 피그미족은 1, 2, 3, 4, 5, 6을 셀 때
‘a, 0a, ua, 0a-oa-oa-a’라고 한다. 이것은 2, 3, 4가 원시적인 밑수였을 것이라고 말할 수 있을 것이다.
5진법은 가장 널리 사용된 첫 번째 수 체계였을 것이다. 오늘날까지도 몇 몇 남아메리카 종족은 손으로 셈을 한다. 즉, ‘one, two, three, four, hand, hand and one’등. 또 독일의 농부의 달력은 1800년까지도 5진법을 이용한 것이었다.
그런데 한 손을 사용하는 것보다는 손가락을 모두 사용하는 것이 비교적 밑수를 사용하기에 잘 어울리므로 결국 10이 밑수 b로 빈번히 선택되었을 것이고 우리가 지금 10진법을 사용하는 이유일 것이다.
한편 역사 이전의 시대에 12가 주로 측량과 관련하여 밑수로 사용되었을 것이다. 그러한 밑수는 일 년 동안에 초승달에서 다음 초승달까지의 근사적인 횟수에 의하여 생각되었을지도 모르고, 또 12가 상당히 많고 중요한 분수부분을 이루었기 때문이었을지도 모른다. 아무튼 오늘날도 12인치가 1피트이고 12온스가 1파운드이고 12펜스가 1실링이고 12라인이 1인치이고 시계가 12시간으로 되어 있고 1년은 12달이고, 또 어떤 경우에 열 두 개가 1다스이고 12다스가 1그로스로서 이용된다.
20진법도 널리 이용되어 왔으며, 이는 사람들이 주로 맨발로 생활하던 시절을 상기시킨다. 이 20진법은 미국 인디언족에 의해 이용되었으며 그것은 잘 개발된 마야 수체계로 알려져 있다. 켈트족도 밑수 20을 사용했다는 흔적이 있다. 그린란드 사람들은 20을 ‘one man’이라하고 40을 ‘two men’이라 하는데 영어에서는 20을 말할 때, score란 단어를 자주 이용한다.
60진법은 고대 바빌로니아 인들이 사용했던 것으로서 지금도 시간이나 측정할 때 이용된다. 일반적으로 진법은 전개식을 활용하여 표현하면 알기 쉽다.
예를 들면, 12.43(5)=1×5+2×1+4×와 같이 나타낼 수 있다.
논제1)
밑수가 2인 위치 수체계(이진법)는 과학의 여러 분야에서 응용되고 있다. 공식을 사용하지 않고 전개식을 이용하여 42.75를 이진법으로 나타내보자.
<해설>
42.75=42+0.75
=
는 0 또는 1이다. 그러면
에서 는 각자 소수 첫 번째, 소수 두 번째, 소수 세 번째 자리의 수가 된다. 양변에 2를 곱하면
또 2를 곱하면
이고 남은 값은 없으므로 0 이다.
따라서
논제2)
무리수도 진법으로 나타낼 수 있을까? 나타낼 수 있다면 을 2진법으로 소수 세 번째 자리수를 구해보자.
<해설>
이므로
는 0 또는 1이고 위와 마찬가지로
에서 는 각자 소수 첫 번째, 소수 두 번째, 소수 세 번째 자리의 수가 된다. 양변에 2를 곱하면
에 또 2를 곱하면
에 2를 곱해도 log의 진수가 10이하이므로
이 된다.
/신우형 신청문학원 원장
※ 저작권자 ⓒ 파이낸셜뉴스, 무단전재-재배포 금지