[차명준박사의 파생상품 이야기] 옵션가격 어떻게 산출하나

선물가격은 계약일과 만기일 사이에 계약 대상 상품에서 발생할 수 있는 이익과 비용의 차이인 보유비용(주식선물 경우 수익은 배당, 비용은 차입자금에 대한 이자지급)을 고려한다. 일반적으로 가격결정 이론에서는 투자자의 자금으로 투자하지만 기회비용의 개념에서 자금을 차입해 투자하는 것으로 가정, 이자지급이 비용으로 간주된다.

옵션은 만기일에 옵션 매수자가 권리(미리 약속된 행사가격으로 콜옵션은 매수, 풋옵션은 매도)를 사고파는 것이다. 옵션의 가치는 권리를 행사할 수 있는 기초자산가격과 행사가격의 차이인 내재가치의 크기에 따라 결정된다.

따라서 옵션가격결정 모형은 옵션의 내재가치를 산출하는 모형이다.

그런데 만기까지는 행사가격은 미리 정해져 있어서 옵션가격은 만기에 기초자산가격이 어떻게 될 것인가에 달려 있다.

이제까지 제시된 옵션가격 모형은 확실성모형, 이항분포모형(Binomial model), 블랙-숄즈모형(BS OPM)으로 구분된다. 확실성모형은 주식옵션의 경우 만기일의 주가를 하나의 값으로 알 수 있다는 아주 엄격한 가정하에서, 알고 있는 주가에서 이자율로 할인한 행사가격을 빼 내재가치를 계산한다.

이항분포모형은 의사결정트리 개념을 이용해 만기 주가가 두 값 중 하나의 값을 갖는다는 간단한 가정하에서 내재가치를 계산한다. 즉, 만기일이 주가가 상승할 경우의 내재가치, 주가가 하락할 경우의 내재가치를 계산한다. 이 모델을 확장해 콕스로스 교수는 위험중립적(공평한 게임에 참여하거나 안하는 것에 차별이 없는) 가치평가이론을 개발했다.

블랙-숄즈모형은 만기까지 주가는 계속 변동하기 때문에 특정한 값으로 알 수 없다는 가정하에서 수학적 확률개념을 이용해 내재가치를 계산한다. 이 모형에서는 기초자산인 주식의 수익률이 기하학적으로 브라운운동을 따른다고 가정한다.

브라운운동은 1827년 영국의 식물학자 로버트 브라운이 물 위에 떠있는 꽃가루에서 나온 작은 입자가 물 위를 끊임없이 떠돌아다니는 것을 발견한 것에서 유래한 이론이다. 액체 혹은 기체 안에 떠서 움직이는 작은 입자의 불규칙한 운동을 의미한다.

이러한 이론은 주가의 움직임이 정해진 규칙성을 찾을 수 없기 때문에 주가 예측이 불가능하다는 랜덤워크 가설과 일맥상통한다. 또한 블랙-숄즈모형은 기초자산의 가격이 브라운운동을 따른다면 옵션가격도 브라운운동을 따른다는 'Ito's Lemma(보조정리)'를 적용한다.

블랙-숄즈모형은 1973년 저널 오브 폴리티컬 이코노미에 발표됐다. 기초자산 가격의 변동성, 옵션의 권리행사 가격, 만기까지의 기간, 무위험자산의 금리 등 다섯 가지의 데이터로부터 옵션이론을 도출했다. 만기일에만 권리를 행사하는 유러피언옵션의 적정가치를 산정하는 모델로 학문적으로나 실무적으로 그 가치를 인정받고 있다. 블랙과 숄즈 두 교수는 블랙-숄즈모형 개발과 다른 학문적 공로를 인정받아 1997년 노벨 경제학상을 받기도 했다. 블랙-숄즈모형은 실용성이 매우 뛰어나 신주인수권부사채(BW) 등 각종 금융상품의 가격산출, 실물옵션과 이색옵션의 가치산정을 비롯해 부동산 분양가격의 산정 등에까지 널리 적용되고 있다.